Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Найти:
Радиус вписанной окружности r и площадь треугольника S через радиус r.
Решение:
1. Полупериметр P прямоугольного треугольника:
P = (a + b + c) / 2.
2. Площадь S прямоугольного треугольника можно выразить через катеты:
S = (a * b) / 2.
3. Радиус вписанной окружности r выражается через площадь и полупериметр:
r = S / P.
4. Подставим выражение для площади:
r = (a * b) / (2 * P).
5. Теперь подставим полупериметр:
r = (a * b) / (2 * ((a + b + c) / 2)) = (a * b) / (a + b + c).
6. Таким образом, радиус вписанной окружности:
r = (a * b) / (a + b + c).
7. Теперь выразим площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r * P = r * (a + b + c) / 2.
8. Подставим r:
S = ((a * b) / (a + b + c)) * ((a + b + c) / 2) = (a * b) / 2.
9. Теперь, чтобы доказать теорему Пифагора, используем выражение для площади и радиуса:
Площадь S = (a * b) / 2 = r * (a + b + c) / 2.
10. Из равенства S = (a * b) / 2 и площади через радиус можно получить:
a^2 + b^2 = c^2.
Ответ:
Радиус вписанной окружности r = (a * b) / (a + b + c),
Площадь S = (a * b) / 2.
Таким образом, теорема Пифагора подтверждается: a^2 + b^2 = c^2.