Дано:
Сторона квадрата a = 1 м.
Найти:
Сторону равностороннего треугольника, одна вершина которого совпадает с вершиной квадрата, а две другие лежат на его сторонах.
Решение:
1. Обозначим вершины квадрата A, B, C и D, где A — это вершина, с которой совпадает одна вершина треугольника.
2. Пусть точки B и D — это точки, в которых находятся две другие вершины треугольника. Обозначим их как P и Q.
3. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны.
4. Обозначим длину стороны треугольника как s. Вершина A находится в точке (0, 1), а точки B и D в (1, 1) и (0, 0) соответственно.
5. Рассмотрим треугольник APQ. Поскольку PQ лежит на стороне квадрата, можно провести вертикальную линию от точки A до стороны BC.
6. Высота равностороннего треугольника h, опущенная из вершины A на сторону PQ, равна:
h = (s * √3) / 2.
7. Поскольку точка P находится на стороне AB, можно записать:
h = 1 - y, где y — координата точки P.
8. Обозначим x как длину отрезка AP. Тогда:
AP = x, BP = 1 - y.
9. Используя теоремы о равностороннем треугольнике, получаем:
s^2 = AP^2 + BP^2.
10. Подставим значения:
s^2 = x^2 + (1 - h)^2.
11. Поскольку h = (s * √3) / 2, подставим это значение:
s^2 = x^2 + (1 - (s * √3) / 2)^2.
12. Для нахождения s, решим уравнение:
s = 1.
Ответ:
Сторона равностороннего треугольника равна 1 м.