Дано:
- Хорда делит круг на два сегмента.
- В каждый сегмент вписана окружность, касающаяся его в середине, радиусы этих окружностей равны R и r.
- В каждый сегмент вписана еще одна окружность, касающаяся первых двух окружностей.
Найти:
- Радиусы дополнительных окружностей в каждом сегменте и доказать, что их радиусы равны.
Решение:
1. Рассмотрим два сегмента круга, разделенные хордой. В каждом из сегментов вписаны окружности, касающиеся хорды и дуг сегмента. Пусть радиусы этих окружностей равны R и r соответственно.
2. Обозначим радиусы дополнительных окружностей, касающихся первых двух окружностей в каждом сегменте, как r1 и r2.
3. Поскольку хорда делит круг на два симметричных сегмента, и обе дополнительные окружности касаются первых двух окружностей, условия симметрии означают, что радиусы дополнительных окружностей должны быть равны.
Для формального доказательства воспользуемся свойством окружностей, касающихся двух других. Окружности касаются в точках касания, и их радиусы определяются по радиусам касающихся окружностей.
4. Для точного вычисления радиусов дополнительных окружностей воспользуемся формулой, которая связывает радиусы окружностей, касающихся двух данных окружностей:
Если окружность радиусом r1 касается двух других окружностей радиусами R и r, то радиус r1 вычисляется по формуле:
1 / r1 = 1 / R + 1 / r
Поскольку аналогичные условия верны для дополнительной окружности в другом сегменте, то их радиусы равны по построению:
r1 = r2
5. Найдем значение радиусов дополнительных окружностей. Подставим значения R и r:
1 / r1 = 1 / R + 1 / r
r1 = 1 / (1 / R + 1 / r)
После упрощения:
r1 = R * r / (R + r)
Ответ:
Радиусы дополнительных окружностей, вписанных в каждый сегмент, равны R * r / (R + r).