Дано: В течение года проводился литературный кружок 20 раз, на каждом занятии присутствовало ровно 5 школьников, и никакие два школьника не встречались на кружке более одного раза.
Найти: Доказать, что всего на кружке побывало не менее 20 школьников.
Решение:
1. Обозначим количество школьников, посетивших кружок, как n.
2. Пусть на каждом занятии присутствовало 5 школьников. Количество уникальных пар школьников, которые встречаются на занятии, можно вычислить с помощью комбинаций. Для одного занятия это будет C(5, 2) = 10 пар.
3. Поскольку кружок проводился 20 раз, общее количество пар, которые могли встречаться на кружке, равно 20 * 10 = 200 пар.
4. Теперь посчитаем максимальное количество пар, которые можно получить от n школьников. Если у нас есть n школьников, то максимальное количество пар, которые можно составить из этих школьников, равно C(n, 2) = n * (n - 1) / 2.
5. Эти пары должны быть уникальными, так как никакие два школьника не встречались более одного раза. Таким образом, должно выполняться неравенство:
n * (n - 1) / 2 >= 200
6. Решим это неравенство для n:
n * (n - 1) >= 400
Попробуем найти минимальное значение n, при котором это неравенство выполняется:
- Для n = 20:
20 * (20 - 1) = 20 * 19 = 380 (меньше 400)
- Для n = 21:
21 * (21 - 1) = 21 * 20 = 420 (больше 400)
Таким образом, минимальное значение n, при котором неравенство выполняется, это n = 21.
Ответ: Всего на кружке побывало не менее 21 школьника.