Дано:
- 21 человек.
- Всего собрано 200 орехов.
- Надо доказать, что найдутся два человека, собравшие одинаковое количество орехов.
Найти:
- Найти, что два человека собрались одинаковое количество орехов.
Решение:
1. Пусть x_i обозначает количество орехов, собранных i-м человеком, где i = 1, 2, ..., 21. Значит, сумма всех орехов будет x_1 + x_2 + ... + x_21 = 200.
2. Рассмотрим максимальное и минимальное количество орехов, которые могут собрать люди. Поскольку каждый человек может собрать от 0 до 200 орехов, все значения x_i могут варьироваться от 0 до 200. Но, так как сумма всех орехов фиксирована и равна 200, максимальное значение для x_i не может превышать 200.
3. Применим принцип Дирихле: у нас 21 человек и каждый может собрать различное количество орехов. Если бы каждый из 21 человека собрал уникальное количество орехов, то максимальное количество уникальных чисел (в данном случае количества орехов) будет 21, так как у нас 21 человек.
4. Однако, если у нас 21 человек и мы имеем 200 орехов, не все возможные количества орехов могут быть уникальными при ограниченной сумме. Следовательно, для выполнения условия 200 орехов, некоторые значения будут повторяться. Доказательство этого можно понять через принцип Дирихле: если каждый человек имеет уникальное число орехов, их сумма не может составлять 200, так как максимальная сумма уникальных чисел от 0 до 200 не достигнет 200, если числа будут слишком велики или слишком малы.
5. Таким образом, по принципу Дирихле, из 21 человека, собравшего орехи, найдутся два человека, собравшие одинаковое количество орехов, потому что уникальные количества орехов будут ограничены.
Ответ:
Найдутся два человека, собравшие одинаковое количество орехов.