Дано: шесть любых целых чисел.
Найти: доказать, что среди этих чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
Решение:
1. Рассмотрим каждое целое число по модулю 5. По определению, любое целое число при делении на 5 оставляет один из следующих возможных остатков: 0, 1, 2, 3 или 4. Это означает, что каждое целое число можно записать в виде:
x ≡ r (mod 5),
где r — остаток от деления числа x на 5 и r принадлежит множеству {0, 1, 2, 3, 4}.
2. Итак, у нас есть 6 целых чисел, и каждое из них оставляет один из 5 возможных остатков при делении на 5. По принципу Дирихле, если у нас есть больше объектов (в данном случае чисел) чем "ящиков" (в данном случае остатков), то хотя бы один "ящик" должен содержать более одного объекта.
В данном случае у нас 6 чисел и только 5 возможных остатков. Значит, по принципу Дирихле, обязательно найдутся по крайней мере два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 5.
3. Пусть a и b — два целых числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 5. Это означает, что:
a ≡ r (mod 5) и b ≡ r (mod 5),
где r — тот самый остаток.
4. Рассмотрим разность этих двух чисел:
a - b.
Поскольку оба числа a и b дают один и тот же остаток r при делении на 5, их разность будет:
a - b ≡ r - r (mod 5),
a - b ≡ 0 (mod 5).
5. Таким образом, разность двух чисел, имеющих одинаковый остаток при делении на 5, делится на 5.
Ответ: Среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.