Дано: 52 целых числа.
Найти: Доказать, что среди этих чисел найдутся два числа, разность квадратов которых делится на 100.
Решение:
1. Разность квадратов двух чисел a и b можно записать как:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Чтобы разность квадратов делилась на 100, необходимо, чтобы произведение (a - b)(a + b) делилось на 100.
2. Разложим 100 на множители:
100 = 2^2 * 5^2
Таким образом, для делимости на 100 необходимо, чтобы произведение (a - b)(a + b) делилось на 4 и на 25.
3. Рассмотрим остатки целых чисел при делении на 100. Любое целое число можно представить в виде:
x = 100k + r, где r – остаток от деления на 100 (r может принимать значения от 0 до 99).
4. Поскольку мы имеем 52 числа, то по принципу Дирихле (принципа ящиков) среди 52 чисел найдутся два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 100. Это значит, что существует пара чисел a и b, таких что:
a ≡ b (mod 100)
5. Из этого следует, что:
a - b ≡ 0 (mod 100)
Таким образом, разность квадратов:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
будет делиться на 100, так как a - b делится на 100.
Ответ: Да, среди 52 целых чисел всегда найдутся два числа, разность квадратов которых делится на 100.