Дано: 11 целых чисел.
Найти: Доказать, что среди этих чисел можно выбрать два таких, разность которых кратна 10.
Решение:
1. Рассмотрим каждое целое число по модулю 10. Каждый остаток при делении на 10 может быть одним из чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего 10 возможных остатков.
2. По принципу Дирихле, если у нас есть 11 чисел и только 10 возможных остатков при делении на 10, то обязательно найдутся хотя бы два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 10.
3. Пусть a и b — два целых числа с одинаковым остатком при делении на 10. Это означает, что:
a ≡ r (mod 10) и b ≡ r (mod 10),
где r — тот самый остаток.
4. Рассмотрим разность этих двух чисел:
a - b.
Поскольку оба числа a и b имеют одинаковый остаток при делении на 10, разность будет:
a - b ≡ r - r (mod 10),
a - b ≡ 0 (mod 10).
5. Таким образом, разность двух чисел с одинаковым остатком при делении на 10 делится на 10.
Ответ: Из любых 11 целых чисел всегда можно выбрать два таких числа, разность которых кратна 10.