Дано:
- На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через одну точку O.
- Углы между этими прямыми могут варьироваться от 0 до 180 градусов.
Найти:
- Доказать, что можно выбрать две из этих прямых так, чтобы угол между ними был меньше 17 градусов.
Решение:
1. Расположим 12 прямых, проходящих через точку O. Каждая прямая определяет угол с какой-то другой прямой.
2. Мы знаем, что 12 прямых можно расположить на круге, где каждая прямая определяет угол относительно фиксированной прямой. Если мы рассмотрим углы между всеми парами прямых, то общее количество таких пар можно вычислить как комбинации из 12 по 2, что равно 12! / [2!(12-2)!] = 66 пар.
3. Все углы между парами прямых варьируются от 0 до 180 градусов. Пусть максимальный угол между любыми двумя прямыми, которые мы рассматриваем, будет не более 180 градусов.
4. Разобьем круг на 12 равных частей, так как прямые, проходящие через точку O, можно представить как разделяющие круг на 12 сегментов.
5. Угловое расстояние между двумя соседними прямыми будет 360 градусов / 12 = 30 градусов. Таким образом, два соседа определяют угол не больше 30 градусов.
6. Если все углы между соседними прямыми равны 30 градусов, то расстояния между любой парой прямых могут составлять 30, 60, 90, 120, 150 и так далее, что меньше 180 градусов.
7. Применим принцип Дирихле (принцип яиц в корзинах). Так как угловые интервалы (разделения) равны 30 градусов, если угол между двумя прямыми больше 30 градусов, то есть другой угол между ними, который будет меньше 30 градусов. Поскольку у нас 12 прямых и круг разбивается на 12 интервалов, гарантированно существует пара прямых, угол между которыми меньше 30 градусов.
8. Поскольку для 30 градусов мы уже показали, что всегда есть пара прямых, угол между которыми меньше 30 градусов, это также означает, что среди всех возможных пар из 66 всегда найдется хотя бы одна пара прямых, угол между которыми меньше 17 градусов.
Ответ:
Можно выбрать две из 12 прямых, проходящих через точку O, так, чтобы угол между ними был меньше 17 градусов.