Дано: Кинотеатр имеет 7 рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний.
Найти: Докажите, что найдутся два ребенка, которые сидели в одном ряду на утреннем сеансе и также сидели в одном ряду на вечернем сеансе.
Решение:
1. Обозначим ряды как R1, R2, R3, R4, R5, R6 и R7. Каждый ряд имеет 10 мест.
2. Рассмотрим размещение детей на утреннем сеансе. Поскольку у нас 50 детей и 7 рядов, количество детей в одном ряду на утреннем сеансе можно распределить неравномерно. Например, если в одном ряду будет x детей, то в других рядах будет 10-x детей.
3. После утреннего сеанса каждый ребенок может занять любое из 7 мест в одном из 7 рядов на вечернем сеансе.
4. Рассмотрим возможное размещение детей на вечернем сеансе. Поскольку в каждом ряду 10 мест, и у нас 50 детей, каждый ряд в среднем будет иметь 50 / 7 ≈ 7 детей, хотя фактическое число может варьироваться.
5. Используем принцип Дирихле для доказательства:
- У нас 50 детей, каждый из которых сидит в одном из 7 рядов на утреннем сеансе и в одном из 7 рядов на вечернем сеансе.
- Каждого ребенка можно представить как пару (утренний ряд, вечерний ряд). Всего существует 7 * 7 = 49 возможных пар (так как каждый ребенок может сидеть в одном из 7 рядов утром и в одном из 7 рядов вечером).
6. Количество детей больше числа возможных пар. В этом случае 50 детей создают 50 пар, и поскольку количество возможных пар (49) меньше числа детей (50), по принципу Дирихле обязательно найдется хотя бы один ряд, который совпадает в обоих сеансах для двух детей.
7. Это означает, что найдутся по крайней мере два ребенка, которые сидят в одном и том же ряду на утреннем сеансе и на вечернем сеансе.
Ответ: Да, найдутся двое детей, которые сидели в одном ряду на утреннем сеансе и в одном ряду на вечернем сеансе.