Дано: Вершины правильного семиугольника окрашены в два цвета: белый и чёрный.
Найти: Докажите, что среди вершин всегда найдутся три вершины одного цвета, которые являются вершинами равнобедренного треугольника.
Решение: Рассмотрим правильный семиугольник с вершинами A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7. Поскольку он имеет 7 вершин, при окрашивании в два цвета возможны 2^7 = 128 вариантов. Однако, поскольку нас интересует конкретное расположение вершин для одного цвета, рассмотрим возможные случаи.
Каждая вершина соединена с другими вершинами отрезками. Рассмотрим треугольник, образованный вершинами A_i, A_j, A_k. Чтобы треугольник был равнобедренным, должны быть равны две стороны из трёх.
В правильном семиугольнике равнобедренный треугольник можно определить следующим образом:
- Если все вершины окрашены в два цвета, то у нас должно быть 3 пары вершин одного цвета, соединённых отрезками на равных расстояниях. Например, в правильном семиугольнике возможны следующие равнобедренные треугольники: A1A2A4, A1A3A5, и так далее.
Так как для треугольника нам нужно 3 вершины одного цвета, и учитывая симметрию правильного семиугольника, в котором все треугольники можно классифицировать по длине сторон и их комбинациям, можно утверждать, что обязательно найдутся три вершины одного цвета, образующие равнобедренный треугольник.
Ответ: Да, среди вершин правильного семиугольника всегда найдутся три вершины одного цвета, которые являются вершинами равнобедренного треугольника.
Для правильного восьмиугольника (с вершинами A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8) аналогичное утверждение также верно, поскольку правильный восьмиугольник имеет больше комбинаций, но принцип работы остаётся таким же: достаточно количества вершин и симметрии, чтобы найти равнобедренный треугольник.