Дано: плоскость окрашена в два цвета — красный и черный. На плоскости есть точки обоих цветов.
Найти: всегда ли найдутся две точки разного цвета на расстоянии 1 друг от друга.
Решение:
1. Рассмотрим любое произвольное множество точек на плоскости. Поскольку плоскость окрашена в два цвета, мы можем определить границы, в которых будет находиться любая точка.
2. Если мы выберем произвольную точку, то на расстоянии 1 от нее будут находиться точек двух разных цветов. Это связано с тем, что в любой конечной области с точками двух цветов и расстоянием 1, можно найти две точки разного цвета на расстоянии 1 друг от друга.
3. Рассмотрим модель, в которой точки расположены в виде решетки. Например, точки расположены в виде квадрата с длиной стороны 1. В этой решетке всегда найдется одна точка, которая будет иметь точку другого цвета на расстоянии 1.
4. Таким образом, при любом раскладе точек на плоскости, независимо от их цвета, можно найти как минимум две точки разного цвета на расстоянии 1 друг от друга.
Ответ: Да, всегда найдутся две точки разного цвета на расстоянии 1 друг от друга.