Дано: внутри треугольника с синими вершинами отмечено 10 синих и 20 красных точек. Нужно выяснить, можно ли расставить точки так, чтобы:
1. Ни три синие точки не лежали на одной прямой.
2. Внутри любого треугольника, вершинами которого являются синие точки, была хотя бы одна красная точка.
Найти: можно ли удовлетворить данным условиям.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник с тремя синими вершинами. Обозначим его треугольником A, B, C.
2. Всего у нас 10 синих точек. Чтобы выполнить условие, что никакие три синие точки не лежат на одной прямой, необходимо, чтобы все 10 синих точек были в общем положении, то есть никакие три из них не были коллинеарными. Это условие можно выполнить при разумной расстановке точек.
3. Для выполнения второго условия, что внутри любого треугольника с синими вершинами должна быть хотя бы одна красная точка, необходимо:
- Каждому треугольнику, образованному синими точками, должна быть присвоена красная точка, расположенная внутри этого треугольника.
4. Поскольку у нас есть 10 синих точек, число треугольников, которые можно образовать из этих точек, вычисляется по формуле сочетаний: C(10, 3) = 120. То есть, можно образовать 120 различных треугольников.
5. У нас есть 20 красных точек, которые нужно распределить так, чтобы обеспечить наличие хотя бы одной красной точки внутри каждого из 120 треугольников. Поскольку количество красных точек (20) меньше количества треугольников (120), это распределение невозможно.
6. Следовательно, нет способа расставить 10 синих и 20 красных точек в соответствии с двумя указанными условиями.
Ответ: Нет, не существует способа расставить 10 синих и 20 красных точек так, чтобы ни три синие точки не лежали на одной прямой и внутри любого треугольника с синими вершинами была хотя бы одна красная точка.