Дано:
- Максимальная высота h = 10 м
- Горизонтальное расстояние R = 20 м
- Ускорение свободного падения g = 10 м/с²
Найти:
- Начальную скорость тела V₀
- Угол бросания тела θ
Решение:
1. Найдем время, которое тело проводит в воздухе. Используем уравнение для максимальной высоты:
h = (V₀² * sin²θ) / (2 * g)
Подставляем известные значения:
10 = (V₀² * sin²θ) / (2 * 10)
10 = V₀² * sin²θ / 20
V₀² * sin²θ = 200
2. Теперь найдем время полета. Время подъема до максимальной высоты можно найти из уравнения:
t₁ = (V₀ * sinθ) / g
Полное время полета будет равно:
T = 2 * t₁ = 2 * (V₀ * sinθ) / g
Подставляем g = 10 м/с²:
T = 2 * (V₀ * sinθ) / 10
T = (V₀ * sinθ) / 5
3. Горизонтальное расстояние R можно выразить через горизонтальную скорость и время полета:
R = V₀ * cosθ * T
Подставляем выражение для T:
R = V₀ * cosθ * (V₀ * sinθ) / 5
20 = (V₀² * sinθ * cosθ) / 5
Мы знаем, что sinθ * cosθ = 0.5 * sin2θ, поэтому:
20 = (0.5 * V₀² * sin2θ) / 5
20 = V₀² * sin2θ / 10
V₀² * sin2θ = 200
4. Сравниваем два уравнения:
V₀² * sin²θ = 200
V₀² * sin2θ = 200
Используем trigonometric identity sin2θ = 2 * sinθ * cosθ:
V₀² * 2 * sinθ * cosθ = 200
2 * V₀² * sinθ * cosθ = 200
V₀² * sinθ * cosθ = 100
Теперь подставим значение sinθ * cosθ = 0.5 * sin2θ:
V₀² * (0.5 * sin2θ) = 100
0.5 * V₀² * sin2θ = 100
V₀² * sin2θ = 200
Это совпадает с ранее найденным уравнением, подтверждая правильность решения.
5. Найдем начальную скорость и угол бросания. Из уравнения для максимальной высоты:
V₀² * sin²θ = 200
V₀² = 200 / sin²θ
Из уравнения для горизонтального расстояния:
V₀² = 100 / (sinθ * cosθ)
Поскольку sinθ * cosθ = 0.5 * sin2θ:
V₀² = 200 / sin2θ
6. Сравниваем уравнения:
200 / sin²θ = 100 / sinθ * cosθ
Используем sin2θ = 2 * sinθ * cosθ:
200 / sin²θ = 100 / (0.5 * sin2θ)
200 / sin²θ = 100 / (0.5 * 2 * sinθ * cosθ)
200 / sin²θ = 100 / sinθ * cosθ
sin²θ = 2 * sinθ * cosθ
Поскольку sinθ * cosθ = 0.5 * sin2θ:
sin²θ = sin2θ
sin2θ = 1
Таким образом, sinθ = 1/√2 и cosθ = 1/√2.
Тогда угол θ = 45°.
7. Найдем начальную скорость:
Подставляем sin²θ = (1/√2)² = 0.5:
V₀² = 200 / 0.5
V₀² = 400
V₀ = √400
V₀ = 20 м/с
Ответ:
- Начальная скорость тела V₀ = 20 м/с
- Угол бросания тела θ = 45°