Дано:
- Две трубы вместе наполняют бочку за 12 минут.
- Первая труба наполняет бочку на 10 минут быстрее второй.
Найти:
- За сколько минут наполняет бочку вторая труба.
Решение:
1. Обозначим время, за которое вторая труба наполняет бочку, как x минут.
Тогда первая труба наполняет бочку за (x - 10) минут.
2. Найдем скорость наполнения каждой трубы:
- Скорость второй трубы = 1/x бочки в минуту.
- Скорость первой трубы = 1/(x - 10) бочки в минуту.
3. Время, за которое обе трубы вместе наполняют бочку, равно 12 минут. Суммарная скорость наполнения обеих труб вместе будет равна 1/12 бочки в минуту.
4. Суммируем скорости обеих труб:
1/x + 1/(x - 10) = 1/12
5. Найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для x и (x - 10) равен x(x - 10). Преобразуем дроби:
(x - 10 + x) / [x(x - 10)] = 1/12
6. Упростим уравнение:
(2x - 10) / [x(x - 10)] = 1/12
7. Перемножим обе стороны уравнения на 12x(x - 10):
12(2x - 10) = x(x - 10)
24x - 120 = x^2 - 10x
8. Переносим все термины в одну сторону уравнения и упрощаем:
x^2 - 10x - 24x + 120 = 0
x^2 - 34x + 120 = 0
9. Решим квадратное уравнение x^2 - 34x + 120 = 0 с помощью дискриминанта:
Дискриминант D = b^2 - 4ac
D = (-34)^2 - 4*1*120
D = 1156 - 480
D = 676
10. Найдем корни уравнения:
x = [34 ± sqrt(676)] / 2
x = [34 ± 26] / 2
11. Получаем два корня:
x = (34 + 26) / 2 = 30
x = (34 - 26) / 2 = 4
12. Поскольку x должно быть больше 10 (так как первая труба быстрее второй), выберем x = 30.
Ответ:
Вторая труба наполняет бочку за 30 минут.