Дано:
Равнобедренный треугольник ABC, где внешний угол при основании AC равен 150°, а медиана BM = 10.
Найти:
Боковую сторону треугольника.
Решение:
1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB и BC внешний угол при основании AC равен 150°. Это означает, что внутренний угол при вершине B равен 180° - 150° = 30°.
2. Поскольку треугольник равнобедренный, внутренние углы при основании равны. Следовательно, углы при вершинах A и C равны. Внутренний угол при вершине B равен 30°, следовательно, углы при вершинах A и C равны (180° - 30°) / 2 = 75°.
3. Рассмотрим треугольник ABM, где BM является медианой и делит основание AC пополам. В этом треугольнике углы при вершинах A и C равны 75° и 75°, угол при вершине B равен 30°.
4. В треугольнике ABM медиана BM делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Поскольку BM является медианой, BM делит треугольник на два равнобедренных треугольника с углом при вершине B равным 30°.
5. В равнобедренном треугольнике со сторонами AB = BC и медианой BM, опущенной на основание AC, можно использовать соотношение для нахождения стороны AB:
AB = BM / sin(угол при вершине A)
где угол при вершине A = 75°.
Поскольку угол при вершине A = 75° и BM = 10:
AB = 10 / sin(75°)
6. Значение sin(75°) можно вычислить как sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = √2/2 * √3/2 + √2/2 * 1/2 = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2) / 4.
Подставим значение sin(75°):
AB = 10 / ((√6 + √2) / 4) = 10 * 4 / (√6 + √2) ≈ 10 * 4 / 1.931 ≈ 20.7.
Ответ:
Боковая сторона треугольника равна примерно 20.7.