Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C.
- Высота CН = 8.
- Тангенс угла B, tg B = 0,8.
Найти:
- Длину отрезка BН.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C высота CN делится на два отрезка, от которых формируются два прямоугольных треугольника: ACN и BCN.
2. Поскольку tg B = 0,8, то в треугольнике ABC tg B = противолежащий катет / прилежащий катет = AC / BC.
3. Обозначим длины катетов AC и BC. Пусть AC = 0,8 * BC, так как tg B = 0,8.
4. Выразим гипотенузу AB через катеты:
AB^2 = AC^2 + BC^2
5. Высота CN разделяет гипотенузу AB на отрезки AN и NB. Используем формулу для высоты из гипотенузы:
CN^2 = AN * NB
6. Из треугольника ABC, по теореме Пифагора:
AB = √(AC^2 + BC^2)
Пусть BC = x, тогда AC = 0,8x.
AB = √((0,8x)^2 + x^2) = √(0,64x^2 + x^2) = √(1,64x^2) = 1,28x
7. По формуле высоты из гипотенузы:
CN^2 = AN * NB
64 = AN * NB
Используем тот факт, что CN = 8.
Если AB = 1,28x, то:
AN = (x^2) / AB = (x^2) / (1,28x) = x / 1,28
NB = (0,8x^2) / (1,28x) = 0,8x / 1,28 = 0,625x
8. Составляем уравнение:
64 = AN * NB
64 = (x / 1,28) * 0,625x
64 = 0,488x^2
x^2 = 64 / 0,488 ≈ 131,6
x ≈ √131,6 ≈ 11,48
9. Теперь находим BН:
BН = (1,28x / 2) = 0,64x ≈ 0,64 * 11,48 ≈ 7,35
Ответ:
Длина отрезка BН примерно равна 7,35.