дано:
длина хорды равна радиусу окружности R.
найти:
градусную меру вписанного угла.
решение:
Обозначим вписанный угол, опирающийся на данную хорду, как угол AOB, где O – центр окружности, A и B – точки касания хорды с окружностью.
Поскольку длина хорды AB равна радиусу R, тогда для треугольника OAB, где O — центр окружности, можно использовать теорему о косинусах.
В этом случае применим формулу для нахождения угла в треугольнике:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(angle AOB).
Так как OA = OB = R (радиус), можно подставить значения:
AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(angle AOB).
Подставляем AB = R:
R^2 = R^2 + R^2 - 2 * R^2 * cos(angle AOB).
Сокращаем R^2 на обеих сторонах уравнения:
0 = R^2 - 2 * R^2 * cos(angle AOB).
Теперь выразим cos(angle AOB):
2 * R^2 * cos(angle AOB) = R^2.
cos(angle AOB) = 1/2.
Угол, для которого косинус равен 1/2, равен 60°.
Таким образом, вписанный угол AOB, который опирается на хорду AB, равен половине угла, соответствующего центру окружности (то есть 2 * угол AOB):
угол AOB = 60°.
ответ:
Градусная мера этого угла составляет 60°.