Question

При помощи таблиц истинности докажите логические тождества (свойства ассоциативности):
а)  (A ∪ В) ∪ С = A ∪ (В ∪ С);
б)  (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).

Answer 1

дано: A, B, C - логические переменные (могут принимать значения Истина или Ложь)

найти: а) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) б) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

решение:

Для проверки тождеств составим таблицы истинности.

а) Рассмотрим выражение (A ∪ B) ∪ C и A ∪ (B ∪ C):

A	B	C	A ∪ B	(A ∪ B) ∪ C	B ∪ C	A ∪ (B ∪ C)
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И

Сравнивая столбцы (A ∪ B) ∪ C и A ∪ (B ∪ C), видим, что они совпадают. Таким образом, первое тождество доказано.

б) Рассмотрим выражение (A ∩ B) ∩ C и A ∩ (B ∩ C):

A	B	C	A ∩ B	(A ∩ B) ∩ C	B ∩ C	A ∩ (B ∩ C)
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И

Сравнивая столбцы (A ∩ B) ∩ C и A ∩ (B ∩ C), видим, что они также совпадают. Таким образом, второе тождество доказано.

ответ: а) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) - доказано. б) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) - доказано.