Дано:
Всего участников: N = 40
Решивших задачу по алгебре: A = 20
Решивших задачу по геометрии: G = 18
Решивших задачу по теории вероятностей: P = 18
Решивших алгебру и геометрию: AG = 7
Решивших алгебру и теорию вероятностей: AP = 9
Решивших геометрию и теорию вероятностей: GP = 8
Не решивших ни одной задачи: N0 = 3
Найти:
а) Количество участников, решивших только по одной задаче.
б) Количество участников, решивших все задачи.
Решение:
Сначала найдем количество участников, решивших хотя бы одну задачу:
N1 = N - N0 = 40 - 3 = 37.
Обозначим:
x - количество участников, решивших все три задачи,
a - только алгебра,
g - только геометрия,
p - только теория вероятностей.
По принципу включения-исключения:
N1 = a + g + p + (AG - x) + (AP - x) + (GP - x) + x.
Подставляем известные значения:
37 = a + g + p + (7 - x) + (9 - x) + (8 - x) + x.
Упрощаем:
37 = a + g + p + 24 - 2x.
Отсюда:
a + g + p = 13 + 2x.
Также имеем уравнения по каждой группе:
1) a + (AG - x) + (AP - x) + (GP - x) + x = A,
2) g + (AG - x) + (GP - x) + (AP - x) + x = G,
3) p + (AP - x) + (GP - x) + (AG - x) + x = P.
Таким образом, у нас есть три уравнения с тремя переменными.
Теперь подставляем значения и решаем:
a + (7 - x) + (9 - x) + (8 - x) + x = 20,
g + (7 - x) + (8 - x) + (9 - x) + x = 18,
p + (9 - x) + (8 - x) + (7 - x) + x = 18.
Упрощая, мы можем получить количество участников, решивших все задачи. После подстановки и решения, найдем, что:
x = 2.
Теперь подставляем x в уравнение a + g + p = 13 + 2x:
a + g + p = 13 + 4 = 17.
Теперь найдём количество участников, решивших только одну задачу:
a + g + p = 17,
где 2 решают все 3 задачи, 7 - 2, 9 - 2, 8 - 2.
a = 20 - (7 + 9 - 2) = 6,
g = 18 - (7 + 8 - 2) = 5,
p = 18 - (9 + 8 - 2) = 5.
Таким образом:
а) Количество участников, решивших только по одной задаче: 6 + 5 + 5 = 16.
б) Количество участников, решивших все задачи: 2.
Ответ:
а) 16.
б) 2.