Дано: в группе детского сада 24 ребёнка.
Найти: количество способов разбить детей на 12 пар и на 8 троек.
Решение:
а) Разбиение на 12 пар.
Количество способов разбить 24 детей на 12 пар можно вычислить по формуле:
C(24, 2) * C(22, 2) * C(20, 2) * ... * C(2, 2) / 12!,
где C(n, k) — биномиальный коэффициент.
Сначала вычислим C(24, 2):
C(24, 2) = 24! / (2! * (24-2)!) = 24 * 23 / 2 = 276.
Продолжим вычисления:
C(22, 2) = 22 * 21 / 2 = 231,
C(20, 2) = 20 * 19 / 2 = 190,
C(18, 2) = 18 * 17 / 2 = 153,
C(16, 2) = 16 * 15 / 2 = 120,
C(14, 2) = 14 * 13 / 2 = 91,
C(12, 2) = 12 * 11 / 2 = 66,
C(10, 2) = 10 * 9 / 2 = 45,
C(8, 2) = 8 * 7 / 2 = 28,
C(6, 2) = 6 * 5 / 2 = 15,
C(4, 2) = 4 * 3 / 2 = 6,
C(2, 2) = 1.
Теперь перемножим все значения:
276 * 231 * 190 * 153 * 120 * 91 * 66 * 45 * 28 * 15 * 6 * 1.
Далее, делим на 12!:
12! = 479001600.
Итак, количество способов разбить на 12 пар:
(276 * 231 * 190 * 153 * 120 * 91 * 66 * 45 * 28 * 15 * 6) / 479001600.
б) Разбиение на 8 троек.
Количество способов разбить 24 детей на 8 троек вычисляется по формуле:
C(24, 3) * C(21, 3) * C(18, 3) * ... * C(3, 3) / 8!,
где C(n, k) — биномиальный коэффициент.
Сначала вычислим C(24, 3):
C(24, 3) = 24! / (3! * (24-3)!) = 24 * 23 * 22 / (3 * 2 * 1) = 2024.
Теперь вычислим остальные:
C(21, 3) = 21 * 20 * 19 / 6 = 1330,
C(18, 3) = 18 * 17 * 16 / 6 = 816,
C(15, 3) = 15 * 14 * 13 / 6 = 455,
C(12, 3) = 12 * 11 * 10 / 6 = 220,
C(9, 3) = 9 * 8 * 7 / 6 = 84,
C(6, 3) = 6 * 5 * 4 / 6 = 20,
C(3, 3) = 1.
Теперь перемножим все значения:
2024 * 1330 * 816 * 455 * 220 * 84 * 20 * 1.
Далее, делим на 8!:
8! = 40320.
Итак, количество способов разбить на 8 троек:
(2024 * 1330 * 816 * 455 * 220 * 84 * 20) / 40320.
Ответ:
а) количество способов разбить на 12 пар: (276 * 231 * 190 * 153 * 120 * 91 * 66 * 45 * 28 * 15 * 6) / 479001600.
б) количество способов разбить на 8 троек: (2024 * 1330 * 816 * 455 * 220 * 84 * 20) / 40320.