Докажите, что в графе без циклов число V — Е равно числу компонент связности (V — число вершин, а Е — число рёбер).
от

1 Ответ

Дано: граф G без циклов с количеством вершин V и количеством рёбер E, а также число компонент связности k.

Найти: доказательство того, что V - E = k.

Решение:

1. Граф без циклов является лесом. Лес — это объединение одного или нескольких деревьев, которые могут быть несвязанными.

2. Каждый компонент связности в лесу является деревом (или отдельной вершиной). Для дерева с n вершинами количество рёбер равно n - 1.

3. Пусть у нас есть k компонент связности. Обозначим количество вершин в каждой компоненте i как V_i и количество рёбер в каждой компоненте как E_i.

4. Для каждой компоненты дерева (i = 1, 2, ..., k) имеет место следующее равенство:
   E_i = V_i - 1.
   
5. Подсчитаем общее количество вершин и рёбер во всем графе G:
   V = V_1 + V_2 + ... + V_k,
   E = E_1 + E_2 + ... + E_k.

6. Подставим выражение для количества рёбер каждой компоненты в общее количество рёбер:
   E = (V_1 - 1) + (V_2 - 1) + ... + (V_k - 1)
     = (V_1 + V_2 + ... + V_k) - k
     = V - k.

7. Перепишем это уравнение:
   V - E = k.

8. Таким образом, мы доказали, что для графа без циклов число V - E равно числу компонент связности.

Ответ:

В графе без циклов число V - E равно числу компонент связности k.
от