В ящике лежат три одинаковых с виду мешочка. В одном лежат два красных шарика, в другом — два синих шарика, а в третьем — красный и синий шарики. Наугад достали один из мешочков и из него вынули шарик. Он оказался синим. Какова вероятность того, что второй шарик в этом мешочке красный?
от

1 Ответ

Дано:

1. Мешочек 1: два красных шарика (К, К)  
2. Мешочек 2: два синих шарика (С, С)  
3. Мешочек 3: один красный и один синий шарик (К, С)  

Необходимо найти вероятность того, что второй шарик в мешочке красный, при условии что первый вынутый шарик оказался синим.

Решение:

Сначала определим вероятность того, что вынутый шарик синий из каждого мешочка.

1. Для мешочка 1 (К, К): вероятность извлечь синий шарик равна 0, так как там только красные.

2. Для мешочка 2 (С, С): вероятность извлечь синий шарик равна 1, так как там только синие.

3. Для мешочка 3 (К, С): вероятность извлечь синий шарик равна 0,5, так как есть один красный и один синий.

Теперь найдем общую вероятность того, что вынутый шарик синий, обозначим её P(Синий):

P(Синий) = P(Синий|Мешочек 1) * P(Мешочек 1) + P(Синий|Мешочек 2) * P(Мешочек 2) + P(Синий|Мешочек 3) * P(Мешочек 3)

Так как мешочки выбираются наугад, вероятность выбора любого мешочка равна 1/3:

P(Синий) = 0 * (1/3) + 1 * (1/3) + 0,5 * (1/3)  
          = 0 + 1/3 + 0,5/3  
          = 1/3 + 1/6  
          = 2/6 + 1/6  
          = 3/6  
          = 1/2

Теперь вычислим вероятность того, что второй шарик красный при условии, что первый шарик синий, обозначим это как P(К|Синий).

Согласно формуле Байеса:

P(К|Синий) = P(Синий|К) * P(К) / P(Синий)

Где:
- P(Синий|К) — вероятность того, что шарик синий, если второй шарик красный.
- P(К) — вероятность того, что выбран мешочек с одним красным и одним синим шариком.

Из возможных случаев мы можем выделить только мешочек 3, где второй шарик красный.

Подстановка значений:

P(К|Синий) = P(Синий|Мешочек 3) * P(Мешочек 3) / P(Синий)  
            = 0,5 * (1/3) / (1/2)

Теперь производим расчеты:

P(К|Синий) = 0,5 * (1/3) * (2/1)  
            = 1/3

Ответ: P(К|Синий) = 1/3.
от