Дано:
1. Мешочек 1: два красных шарика (К, К)
2. Мешочек 2: два синих шарика (С, С)
3. Мешочек 3: один красный и один синий шарик (К, С)
Необходимо найти вероятность того, что второй шарик в мешочке красный, при условии что первый вынутый шарик оказался синим.
Решение:
Сначала определим вероятность того, что вынутый шарик синий из каждого мешочка.
1. Для мешочка 1 (К, К): вероятность извлечь синий шарик равна 0, так как там только красные.
2. Для мешочка 2 (С, С): вероятность извлечь синий шарик равна 1, так как там только синие.
3. Для мешочка 3 (К, С): вероятность извлечь синий шарик равна 0,5, так как есть один красный и один синий.
Теперь найдем общую вероятность того, что вынутый шарик синий, обозначим её P(Синий):
P(Синий) = P(Синий|Мешочек 1) * P(Мешочек 1) + P(Синий|Мешочек 2) * P(Мешочек 2) + P(Синий|Мешочек 3) * P(Мешочек 3)
Так как мешочки выбираются наугад, вероятность выбора любого мешочка равна 1/3:
P(Синий) = 0 * (1/3) + 1 * (1/3) + 0,5 * (1/3)
= 0 + 1/3 + 0,5/3
= 1/3 + 1/6
= 2/6 + 1/6
= 3/6
= 1/2
Теперь вычислим вероятность того, что второй шарик красный при условии, что первый шарик синий, обозначим это как P(К|Синий).
Согласно формуле Байеса:
P(К|Синий) = P(Синий|К) * P(К) / P(Синий)
Где:
- P(Синий|К) — вероятность того, что шарик синий, если второй шарик красный.
- P(К) — вероятность того, что выбран мешочек с одним красным и одним синим шариком.
Из возможных случаев мы можем выделить только мешочек 3, где второй шарик красный.
Подстановка значений:
P(К|Синий) = P(Синий|Мешочек 3) * P(Мешочек 3) / P(Синий)
= 0,5 * (1/3) / (1/2)
Теперь производим расчеты:
P(К|Синий) = 0,5 * (1/3) * (2/1)
= 1/3
Ответ: P(К|Синий) = 1/3.