дано:
- Половина населения — зайцы, половина — кролики.
- Вероятность заблуждения зайца = 1/4 (т.е. вероятность правдивого утверждения = 3/4).
- Вероятность заблуждения кролика = 1/3 (т.е. вероятность правдивого утверждения = 2/3).
найти:
Вероятность того, что зверь является кроликом, если он сказал: «Я не заяц!» и «Я не кролик».
решение:
Обозначим события:
A — зверь заяц.
B — зверь кролик.
C — событие, что зверь говорит «Я не заяц!».
D — событие, что зверь говорит «Я не кролик!».
Сначала найдем вероятности событий C и D для обоих случаев (когда зверь заяц и когда кролик).
1. Если зверь заяц:
- Вероятность, что заяц скажет «Я не заяц!» = вероятность заблуждения зайца = 1/4.
- Вероятность, что заяц скажет «Я не кролик!» = вероятность правды = 3/4.
- Совместная вероятность: P(C | A) * P(D | A) = (1/4) * (3/4) = 3/16.
2. Если зверь кролик:
- Вероятность, что кролик скажет «Я не заяц!» = вероятность правды = 2/3.
- Вероятность, что кролик скажет «Я не кролик!» = вероятность заблуждения кролика = 1/3.
- Совместная вероятность: P(C | B) * P(D | B) = (2/3) * (1/3) = 2/9.
Теперь найдем полные вероятности P(C, D):
P(C, D) = P(C, D | A) * P(A) + P(C, D | B) * P(B)
= (3/16) * (1/2) + (2/9) * (1/2)
= (3/32) + (1/9).
Приведем к общему знаменателю:
Общий знаменатель для 32 и 9 равен 288.
(3/32) = (3 * 9)/(32 * 9) = 27/288,
(2/9) = (2 * 32)/(9 * 32) = 64/288.
Таким образом,
P(C, D) = 27/288 + 64/288 = 91/288.
Теперь найдем условную вероятность того, что зверь кролик, при условии, что он сказал «Я не заяц!» и «Я не кролик»:
P(B | C, D) = P(C, D | B) * P(B) / P(C, D).
Где P(B) = 1/2.
Подставляя значения:
P(B | C, D) = (2/9) * (1/2) / (91/288)
= (2/18) / (91/288)
= (2/18) * (288/91)
= (32/91).
ответ:
Вероятность того, что зверь — кролик, равна 32/91.