дано:
- Треть населения — липсики, остальные — лоп-сики.
- Вероятность заблуждения липсика = 1/3 (т.е. вероятность правдивого утверждения = 2/3).
- Вероятность заблуждения лоп-сика = 1/4 (т.е. вероятность правдивого утверждения = 3/4).
найти:
Вероятность того, что зверь является липсиком, если он сказал: «Я не липсик!» и «Я не лопсик».
решение:
Обозначим события:
A — зверь липсик.
B — зверь лоп-сик.
C — событие, что зверь говорит «Я не липсик!».
D — событие, что зверь говорит «Я не лоп-сик!».
Сначала найдем вероятности событий C и D для обоих случаев (когда зверь липсик и когда лоп-сик).
1. Если зверь липсик:
- Вероятность, что липсик скажет «Я не липсик!» = вероятность заблуждения липсика = 1/3.
- Вероятность, что липсик скажет «Я не лоп-сик!» = вероятность правды = 2/3.
- Совместная вероятность: P(C | A) * P(D | A) = (1/3) * (2/3) = 2/9.
2. Если зверь лоп-сик:
- Вероятность, что лоп-сик скажет «Я не липсик!» = вероятность правды = 3/4.
- Вероятность, что лоп-сик скажет «Я не лоп-сик!» = вероятность заблуждения лоп-сика = 1/4.
- Совместная вероятность: P(C | B) * P(D | B) = (3/4) * (1/4) = 3/16.
Теперь найдем полные вероятности P(C, D):
P(C, D) = P(C, D | A) * P(A) + P(C, D | B) * P(B)
= (2/9) * (1/3) + (3/16) * (2/3)
= (2/27) + (6/48).
Приведем к общему знаменателю:
Общий знаменатель для 27 и 48 равен 432.
(2/27) = (2 * 16)/(27 * 16) = 32/432,
(6/48) = (6 * 9)/(48 * 9) = 54/432.
Таким образом,
P(C, D) = 32/432 + 54/432 = 86/432.
Теперь упростим: делим числитель и знаменатель на 2.
P(C, D) = 43/216.
Теперь найдем условную вероятность того, что зверь липсик, при условии, что он сказал «Я не липсик!» и «Я не лоп-сик»:
P(A | C, D) = P(C, D | A) * P(A) / P(C, D).
Где P(A) = 1/3.
Подставляя значения:
P(A | C, D) = (2/9) * (1/3) / (43/216)
= (2/27) / (43/216)
= (2/27) * (216/43)
= (16/43).
ответ:
Вероятность того, что зверь — липсик, равна 16/43.