Ровно треть населения города — липсики, остальные — лоп-сики. Они никогда не обманывают, но могут ошибаться. Липсики ошибаются в среднем в каждом третьем случае, а лопсики ошибаются в каждом четвёртом случае. Однажды к городской ратуше вышел один из жителей и закричал: «Я не липсик!» Затем он подумал и сказал: «Я не лопсик». Какова вероятность того, что он всё же липсик?
от

1 Ответ

дано:  
- Треть населения — липсики, остальные — лоп-сики.  
- Вероятность заблуждения липсика = 1/3 (т.е. вероятность правдивого утверждения = 2/3).  
- Вероятность заблуждения лоп-сика = 1/4 (т.е. вероятность правдивого утверждения = 3/4).  

найти:  
Вероятность того, что зверь является липсиком, если он сказал: «Я не липсик!» и «Я не лопсик».

решение:  
Обозначим события:  
A — зверь липсик.  
B — зверь лоп-сик.  
C — событие, что зверь говорит «Я не липсик!».  
D — событие, что зверь говорит «Я не лоп-сик!».

Сначала найдем вероятности событий C и D для обоих случаев (когда зверь липсик и когда лоп-сик).

1. Если зверь липсик:
   - Вероятность, что липсик скажет «Я не липсик!» = вероятность заблуждения липсика = 1/3.
   - Вероятность, что липсик скажет «Я не лоп-сик!» = вероятность правды = 2/3.
   - Совместная вероятность: P(C | A) * P(D | A) = (1/3) * (2/3) = 2/9.

2. Если зверь лоп-сик:
   - Вероятность, что лоп-сик скажет «Я не липсик!» = вероятность правды = 3/4.
   - Вероятность, что лоп-сик скажет «Я не лоп-сик!» = вероятность заблуждения лоп-сика = 1/4.
   - Совместная вероятность: P(C | B) * P(D | B) = (3/4) * (1/4) = 3/16.

Теперь найдем полные вероятности P(C, D):

P(C, D) = P(C, D | A) * P(A) + P(C, D | B) * P(B)
= (2/9) * (1/3) + (3/16) * (2/3)
= (2/27) + (6/48).

Приведем к общему знаменателю:
Общий знаменатель для 27 и 48 равен 432.

(2/27) = (2 * 16)/(27 * 16) = 32/432,
(6/48) = (6 * 9)/(48 * 9) = 54/432.

Таким образом,
P(C, D) = 32/432 + 54/432 = 86/432.

Теперь упростим: делим числитель и знаменатель на 2.

P(C, D) = 43/216.

Теперь найдем условную вероятность того, что зверь липсик, при условии, что он сказал «Я не липсик!» и «Я не лоп-сик»:

P(A | C, D) = P(C, D | A) * P(A) / P(C, D).

Где P(A) = 1/3.

Подставляя значения:

P(A | C, D) = (2/9) * (1/3) / (43/216)
= (2/27) / (43/216)
= (2/27) * (216/43)
= (16/43).

ответ:  
Вероятность того, что зверь — липсик, равна 16/43.
от