Дано:
Испытание: однократное бросание симметричной монеты. Успех: выпадение орла.
Найти:
Являются ли успехи в двух последовательных испытаниях независимыми?
Решение:
Чтобы проверить, являются ли два события A и B независимыми, необходимо проверить следующее условие:
P(A и B) = P(A) * P(B),
где P(A) — вероятность успешного исхода в первом испытании (выпадение орла), а P(B) — вероятность успешного исхода во втором испытании.
Вероятность успешного исхода в одном бросании монеты равна:
P(A) = 1/2,
P(B) = 1/2.
Теперь найдем вероятность того, что оба испытания завершатся успехом (в обоих случаях выпадет орел):
P(A и B) = P(орел в первом броске) * P(орел во втором броске) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Теперь проверяем условие независимости:
P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Сравнивая P(A и B) и P(A) * P(B), мы видим, что:
P(A и B) = P(A) * P(B).
Таким образом, условия независимости выполнены.
Ответ:
Успехи в двух последовательных испытаниях являются независимыми.