Дано:
Испытание: извлечение ручки из коробки, содержащей несколько синих и несколько красных ручек. Успех: извлечение красной ручки.
Найти:
Являются ли успехи в двух последовательных испытаниях независимыми?
Решение:
Для проверки независимости событий (успеха в первом и втором испытании) необходимо выяснить, выполняется ли следующее условие:
P(A и B) = P(A) * P(B),
где A — событие "извлечение красной ручки в первом испытании", а B — событие "извлечение красной ручки во втором испытании".
Вероятность P(A) зависит от количества красных и синих ручек в коробке. Предположим, что в коробке всего N ручек, из них K — красные. Тогда вероятность извлечения красной ручки в первом испытании будет:
P(A) = K/N.
Теперь рассмотрим второе испытание. Если ручки не возвращаются в коробку после извлечения, то вероятность извлечения красной ручки во втором испытании будет зависеть от исхода первого испытания:
- Если в первом испытании была извлечена красная ручка, то во втором испытании количество красных ручек уменьшится на 1, и вероятность будет равна (K-1)/(N-1).
- Если в первом испытании была извлечена синяя ручка, то количество красных ручек останется прежним, и вероятность останется равной K/(N-1).
Таким образом, вероятность P(B) будет зависеть от того, как прошло первое испытание, и в итоге P(B) не будет постоянной.
Следовательно, P(A и B) не будет равна P(A) * P(B) из-за зависимости вероятности второго испытания от результата первого.
Ответ:
Успехи в двух последовательных испытаниях не являются независимыми.