дано:
количество бросков n = 8,
вероятность выпадения орла p = 0,5.
найти:
а) вероятность того, что в серии бросков выпадет более трех орлов;
б) вероятность того, что выпадет от трех до пяти орлов.
решение:
Для решения задачи будем использовать биномиальное распределение. Вероятность получения k орлов в n бросках рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
а) Для нахождения вероятности того, что выпадет более трех орлов, нужно суммировать вероятности для k = 4, 5, 6, 7 и 8.
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8).
Вычислим каждую вероятность:
1. P(X = 4) = C(8, 4) * (0,5)^4 * (0,5)^(8-4) = C(8, 4) * (0,5)^8.
C(8, 4) = 70, следовательно P(X = 4) = 70 * (0,5)^8 ≈ 0,2734.
2. P(X = 5) = C(8, 5) * (0,5)^5 * (0,5)^(8-5) = C(8, 5) * (0,5)^8.
C(8, 5) = 56, следовательно P(X = 5) = 56 * (0,5)^8 ≈ 0,2188.
3. P(X = 6) = C(8, 6) * (0,5)^6 * (0,5)^(8-6) = C(8, 6) * (0,5)^8.
C(8, 6) = 28, следовательно P(X = 6) = 28 * (0,5)^8 ≈ 0,1094.
4. P(X = 7) = C(8, 7) * (0,5)^7 * (0,5)^(8-7) = C(8, 7) * (0,5)^8.
C(8, 7) = 8, следовательно P(X = 7) = 8 * (0,5)^8 ≈ 0,0313.
5. P(X = 8) = C(8, 8) * (0,5)^8 * (0,5)^(8-8) = C(8, 8) * (0,5)^8.
C(8, 8) = 1, следовательно P(X = 8) = 1 * (0,5)^8 ≈ 0,0039.
Теперь сложим все вероятности:
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)
≈ 0,2734 + 0,2188 + 0,1094 + 0,0313 + 0,0039 ≈ 0,6368.
Ответ: P(X > 3) ≈ 0,637.
б) Теперь найдем вероятность того, что выпадет от трех до пяти орлов:
P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5).
1. P(X = 3) = C(8, 3) * (0,5)^3 * (0,5)^(8-3) = C(8, 3) * (0,5)^8.
C(8, 3) = 56, следовательно P(X = 3) = 56 * (0,5)^8 ≈ 0,2188.
Сложим найденные вероятности:
P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
≈ 0,2188 + 0,2734 + 0,2188 ≈ 0,7110.
Ответ: P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0,711.