дано:
количество будущих первоклассников n = 10,
вероятность того, что ребенок мальчик p = 1/2 (так же и для девочки).
найти:
а) вероятность события «не больше одного мальчика»;
б) вероятность события «больше шести девочек».
решение:
Для решения будем использовать биномиальное распределение. Вероятность получения k успехов (в данном случае — количество мальчиков) в n испытаниях рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
а) Найдем вероятность события «не больше одного мальчика»:
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1).
1. Вычислим P(X = 0):
P(X = 0) = C(10, 0) * (1/2)^0 * (1/2)^(10-0) = 1 * 1 * (1/2)^10 = 1/1024 ≈ 0,00097656.
2. Вычислим P(X = 1):
P(X = 1) = C(10, 1) * (1/2)^1 * (1/2)^(10-1) = 10 * (1/2) * (1/2)^9 = 10 * (1/2)^(10) = 10/1024 ≈ 0,009765625.
Теперь найдем общую вероятность:
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0,00097656 + 0,009765625 ≈ 0,010742185.
Сравниваем с порогом 0,05:
Так как 0,010742185 < 0,05, событие «не больше одного мальчика» является практически невозможным.
ответ: событие «не больше одного мальчика» является практически невозможным.
б) Теперь найдем вероятность события «больше шести девочек». Это событие эквивалентно событию «не больше трех мальчиков»:
P(X > 6) = P(X ≤ 3).
Найдём P(X = 2) и P(X = 3):
3. P(X = 2):
P(X = 2) = C(10, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(10-2) = 45 * (1/4) * (1/256) = 45 / 1024 ≈ 0,0439453125.
4. P(X = 3):
P(X = 3) = C(10, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(10-3) = 120 * (1/8) * (1/128) = 120 / 1024 ≈ 0,1171875.
Теперь находим общую вероятность:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
≈ 0,00097656 + 0,009765625 + 0,0439453125 + 0,1171875 ≈ 0,171875.
Сравниваем с порогом 0,05:
Так как 0,171875 > 0,05, событие «больше шести девочек» является вполне вероятным.
ответ: событие «больше шести девочек» является вполне вероятным.