дано:
вероятность попадания в мишень p = 0.7,
соответственно, вероятность промаха q = 1 - p = 0.3,
количество выстрелов n = 8.
найти:
вероятность того, что С промахнётся не более двух раз: P(X ≤ 2).
решение:
Для решения задачи воспользуемся биномиальным распределением. Вероятность промаха k раз в n выстрелах рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * q^k * p^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
Необходимо найти P(X ≤ 2):
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).
Теперь найдем каждую из вероятностей.
1. Вычислим P(X = 0):
P(X = 0) = C(8, 0) * (0.3)^0 * (0.7)^8.
C(8, 0) = 1.
Таким образом,
P(X = 0) = 1 * 1 * (0.7)^8
= (0.7)^8
≈ 0.05764801.
2. Вычислим P(X = 1):
P(X = 1) = C(8, 1) * (0.3)^1 * (0.7)^7.
C(8, 1) = 8.
Таким образом,
P(X = 1) = 8 * (0.3)^1 * (0.7)^7
= 8 * 0.3 * (0.7)^7
= 8 * 0.3 * 0.0823543
≈ 0.19773248.
3. Вычислим P(X = 2):
P(X = 2) = C(8, 2) * (0.3)^2 * (0.7)^6.
C(8, 2) = 28.
Таким образом,
P(X = 2) = 28 * (0.3)^2 * (0.7)^6
= 28 * 0.09 * (0.7)^6
= 28 * 0.09 * 0.117649
≈ 0.2951264.
Теперь найдем общую вероятность:
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
≈ 0.05764801 + 0.19773248 + 0.2951264 ≈ 0.55050689.
Округляя до сотых, получаем:
ответ: вероятность того, что С промахнётся не более двух раз в серии из 8 выстрелов, составляет 0.55.