дано:
вероятность поражения каждой мишени p = 0.7,
вероятность промаха q = 1 - p = 0.3,
количество мишеней n = 6.
найти:
а) вероятность того, что биатлонист поразит две или три мишени: P(X = 2) + P(X = 3);
б) вероятность того, что биатлонист поразит более трёх мишеней: P(X > 3).
решение:
Для решения задачи воспользуемся биномиальным распределением. Вероятность попадания k раз в n выстрелах рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
1. Для пункта а) найдем P(X = 2) и P(X = 3):
- Вычислим P(X = 2):
P(X = 2) = C(6, 2) * (0.7)^2 * (0.3)^(6 - 2).
C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = 15.
Таким образом,
P(X = 2) = 15 * (0.7)^2 * (0.3)^4
= 15 * 0.49 * 0.0081
≈ 15 * 0.003969
≈ 0.059535.
- Вычислим P(X = 3):
P(X = 3) = C(6, 3) * (0.7)^3 * (0.3)^(6 - 3).
C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = 20.
Таким образом,
P(X = 3) = 20 * (0.7)^3 * (0.3)^3
= 20 * 0.343 * 0.027
≈ 20 * 0.009261
≈ 0.18522.
Теперь найдем общую вероятность:
P(X = 2) + P(X = 3) ≈ 0.059535 + 0.18522 ≈ 0.244755.
2. Для пункта б) найдем P(X > 3):
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6).
- Вычислим P(X = 4):
P(X = 4) = C(6, 4) * (0.7)^4 * (0.3)^(6 - 4).
C(6, 4) = 15.
Таким образом,
P(X = 4) = 15 * (0.7)^4 * (0.3)^2
= 15 * 0.2401 * 0.09
≈ 15 * 0.021609
≈ 0.324135.
- Вычислим P(X = 5):
P(X = 5) = C(6, 5) * (0.7)^5 * (0.3)^(6 - 5).
C(6, 5) = 6.
Таким образом,
P(X = 5) = 6 * (0.7)^5 * (0.3)^1
= 6 * 0.16807 * 0.3
≈ 6 * 0.050421
≈ 0.302526.
- Вычислим P(X = 6):
P(X = 6) = C(6, 6) * (0.7)^6 * (0.3)^(6 - 6).
C(6, 6) = 1.
Таким образом,
P(X = 6) = 1 * (0.7)^6 * (0.3)^0
= 1 * 0.117649 * 1
≈ 0.117649.
Теперь найдем общую вероятность для P(X > 3):
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
≈ 0.324135 + 0.302526 + 0.117649 ≈ 0.74431.
ответ:
а) вероятность того, что биатлонист поразит две или три мишени, составляет 0.245;
б) вероятность того, что биатлонист поразит более трёх мишеней, составляет 0,745