Дано:
Игрок А выигрывает партию с вероятностью p = 0,7. Игрок Б, соответственно, выигрывает с вероятностью q = 1 - p = 0,3.
а) Найти вероятность того, что после семи партий счёт будет 3:4 (игрок А набрал 3 очка, игрок Б — 4 очка).
Обозначим количество выигранных партий игроком А как k_A = 3 и игроком Б как k_B = 4. Всего сыграно n = 7 партий.
Чтобы получить счет 3:4, игрок А должен выиграть 3 партии, а игрок Б — 4. Используем формулу для вычисления вероятности получения определенного количества успехов в серии испытаний:
P(X = k_A, n = 7) = C(n, k_A) * p^k_A * q^(n - k_A),
где:
C(n, k_A) - биномиальный коэффициент,
p - вероятность выигрыша игрока А,
q - вероятность выигрыша игрока Б.
Теперь рассчитаем:
1. Вычислим биномиальный коэффициент:
C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 35.
2. Рассчитаем вероятность:
P(3:4) = C(7, 3) * (0.7)^3 * (0.3)^4
= 35 * (0.7)^3 * (0.3)^4
= 35 * 0.343 * 0.0081
= 35 * 0.00277643
≈ 0.0972.
Ответ: 0.0972.
б) Найти вероятность того, что после двенадцати партий счёт будет 6:6.
В этом случае у нас k_A = 6 и k_B = 6. Всего сыграно n = 12 партий.
Для счета 6:6 используем ту же формулу:
P(X = k_A, n = 12) = C(n, k_A) * p^k_A * q^(n - k_A).
1. Вычислим биномиальный коэффициент:
C(12, 6) = 12! / (6! * (12 - 6)!) = 924.
2. Рассчитаем вероятность:
P(6:6) = C(12, 6) * (0.7)^6 * (0.3)^6
= 924 * (0.7)^6 * (0.3)^6
= 924 * 0.117649 * 0.000729
= 924 * 0.000085898
≈ 0.0793.
Ответ: 0.0793.