дано:
1. Игрок 1: выиграл a партий.
2. Игрок 2: выиграл b партий.
3. Вероятность выигрыша для обоих игроков равна 0,5.
найти:
- Как следует разделить приз в зависимости от текущего счёта.
решение:
Пусть P(i, j) — вероятность того, что игрок 1 выиграет, если у него i побед, а у игрока 2 j побед.
Для определения вероятностей будем использовать следующий алгоритм:
1. Если игрок 1 выигрывает 6 партий (i = 6), то P(6, j) = 1 (игрок 1 стал победителем).
2. Если игрок 2 выигрывает 6 партий (i, j = 6), то P(i, 6) = 0 (игрок 2 стал победителем).
3. В остальных случаях:
P(i, j) = 0.5 * P(i + 1, j) + 0.5 * P(i, j + 1).
Теперь рассчитаем вероятности для каждого случая:
а) Счет 5 : 3
- Игрок 1: 5 побед (i = 5)
- Игрок 2: 3 победы (j = 3)
P(5, 3) = 0.5 * P(6, 3) + 0.5 * P(5, 4)
P(6, 3) = 1 (игрок 1 победил)
P(5, 4) = 0.5 * P(6, 4) + 0.5 * P(5, 5)
P(6, 4) = 1 (игрок 1 победил)
P(5, 5) = 0.5 * P(6, 5) + 0.5 * P(5, 6)
P(6, 5) = 1 (игрок 1 победил)
P(5, 6) = 0 (игрок 2 победил)
Таким образом,
P(5, 4) = 0.5 * 1 + 0.5 * 0 = 0.5,
P(5, 3) = 0.5 * 1 + 0.5 * 0.5 = 0.75.
Вероятность выигрыша для игрока 1: 0.75, для игрока 2: 0.25.
Отношение деления приза: 3 : 1.
б) Счет 4 : 3
- Игрок 1: 4 победы (i = 4)
- Игрок 2: 3 победы (j = 3)
P(4, 3) = 0.5 * P(5, 3) + 0.5 * P(4, 4)
P(4, 4) = 0.5 * P(5, 4) + 0.5 * P(4, 5)
P(4, 5) = 0.5 * P(5, 5) + 0.5 * P(4, 6) = 0.5 * 0 + 0.5 * 0 = 0.
Итак, P(4, 4) = 0.5 * 0.5 + 0.5 * 0 = 0.25.
Теперь P(4, 3) = 0.5 * 0.75 + 0.5 * 0.25 = 0.375.
Вероятность выигрыша для игрока 1: 0.375, для игрока 2: 0.625.
Отношение деления приза: 3 : 5.
в) Счет 4 : 2
- Игрок 1: 4 победы (i = 4)
- Игрок 2: 2 победы (j = 2)
P(4, 2) = 0.5 * P(5, 2) + 0.5 * P(4, 3).
P(5, 2) = 0.5 * P(6, 2) + 0.5 * P(5, 3) = 0.5 * 1 + 0.5 * 0.75 = 0.875.
Теперь подставляем значения:
P(4, 2) = 0.5 * 0.875 + 0.5 * 0.375 = 0.4375.
Вероятность выигрыша для игрока 1: 0.4375, для игрока 2: 0.5625.