дано:
а) количество костей n = 6;
вероятность появления шестёрки p = 1/6.
б) количество костей n = 12;
вероятность появления шестёрки p = 1/6.
найти:
а) вероятность появления хотя бы одной шестёрки при бросании 6 костей P(A);
б) вероятность появления хотя бы двух шестёрок при бросании 12 костей P(B).
решение:
а) Для нахождения вероятности появления хотя бы одной шестёрки, удобно использовать дополнение. Сначала найдем вероятность того, что не выпадет ни одной шестёрки. Вероятность того, что не выпадет шестёрка при одном бросании равна 5/6. Тогда для 6 костей:
P(не выпадает шестёрка) = (5/6)^6.
Теперь находим вероятность того, что хотя бы одна шестёрка появляется:
P(A) = 1 - P(не выпадает шестёрка)
= 1 - (5/6)^6
= 1 - (15625/46656)
= (31031/46656) ≈ 0.6651.
б) Теперь найдем вероятность появления хотя бы двух шестёрок при бросании 12 костей. Используем также дополнение. Сначала найдем вероятность того, что не выпадет ни одной шестёрки и вероятность того, что выпадет ровно одна шестёрка.
Вероятность того, что не выпадет шестёрка:
P(0 шестёрок) = (5/6)^12.
Вероятность появления ровно одной шестёрки:
P(1 шестёрка) = C(12, 1) * (1/6)^1 * (5/6)^(12-1),
где C(12, 1) = 12! / (1! * (12-1)!) = 12.
Таким образом:
P(1 шестёрка) = 12 * (1/6) * (5/6)^(11)
= 12 * (1/6) * (48828125/2176782336)
= 12 * (1/6) * (48828125/2176782336)
≈ 0.2707.
Теперь суммируем эти вероятности:
P(не выпадает ни одной шестёрки или выпадает ровно одна шестёрка) = P(0 шестёрок) + P(1 шестёрка)
= (5/6)^12 + 12 * (1/6) * (5/6)^(11)
Теперь находим P(B):
P(B) = 1 - (P(0 шестёрок) + P(1 шестёрка))
= 1 - ((5/6)^12 + 12 * (1/6) * (5/6)^(11)).
После вычислений получаем:
P(B) ≈ 0.6140.
ответ:
а) P(A) ≈ 0.6651;
б) P(B) ≈ 0.6140.