дано:
p - вероятность успешной отправки СМС в каждой попытке;
q - вероятность неудачи (q = 1 - p);
P - минимальная вероятность успешной отправки сообщения (P >= 0,9).
найти:
наименьшее число попыток n, при котором выполняется условие P >= 0,9.
решение:
Вероятность хотя бы одной успешной попытки из n равно:
P(at least one success) = 1 - q^n,
где q = 1 - p.
Нам нужно, чтобы это значение было не меньше 0,9:
1 - q^n >= 0,9
=> q^n <= 0,1.
Теперь подставим q:
(1 - p)^n <= 0,1.
а) Для p = 0,012:
q = 1 - 0,012 = 0,988.
Подставляем в неравенство:
0,988^n <= 0,1.
Для нахождения n можем использовать логарифмы:
log(0,988^n) <= log(0,1)
=> n * log(0,988) <= log(0,1)
=> n >= log(0,1) / log(0,988).
Вычислим логарифмы:
log(0,1) = -1,
log(0,988) ≈ -0,0052.
Теперь подставляем значения:
n >= -1 / -0,0052 ≈ 192.31.
Так как n должно быть целым числом, округляем до 193.
б) Для p = 0,006:
q = 1 - 0,006 = 0,994.
Подставляем в неравенство:
0,994^n <= 0,1.
Аналогично используем логарифмы:
log(0,994^n) <= log(0,1)
=> n * log(0,994) <= log(0,1)
=> n >= log(0,1) / log(0,994).
Вычислим логарифмы:
log(0,1) = -1,
log(0,994) ≈ -0,0024.
Теперь подставляем значения:
n >= -1 / -0,0024 ≈ 416.67.
Округляем до 417.
ответ:
а) Наименьшее число попыток при p = 0,012: n = 193.
б) Наименьшее число попыток при p = 0,006: n = 417.