Question

В треугольнике ABC случайным образом выбирают точку X. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику АВМ, где точка М:
а)  является серединой стороны АС;
б)  делит сторону АС в отношении т : п, считая от точки А.

Answer 1

Дано:

- Треугольник ABC.
- Случайно выбирается точка X внутри треугольника ABC.
- Точка M на стороне AC.

Найти:
а) Вероятность того, что точка X принадлежит треугольнику ABM, если точка M является серединой стороны AC.
б) Вероятность того, что точка X принадлежит треугольнику ABM, если точка M делит сторону AC в отношении t : p, считая от точки A.

Решение:

а) Если точка M является серединой стороны AC, то AM = MC. Обозначим площадь треугольника ABC как S. Площадь треугольника ABM будет равна половине площади треугольника ABC, поскольку BM является медианой треугольника ABC.

Площадь треугольника ABM = (1/2) * S.

Вероятность того, что случайно выбранная точка X принадлежит треугольнику ABM, равна отношению площади треугольника ABM к площади треугольника ABC:

P(X принадлежит ABM) = площадь ABM / площадь ABC = (1/2) * S / S = 1/2.

Ответ:
а) Вероятность P(X принадлежит ABM) = 1/2.

б) Если точка M делит сторону AC в отношении t : p, то длины отрезков AM и MC будут:

AM = (t / (t + p)) * AC,
MC = (p / (t + p)) * AC.

Теперь можно использовать аналогичный подход для нахождения площади треугольника ABM. В этом случае площадь треугольника ABM можно выразить как:

площадь ABM = (AM / AC) * площадь ABC = (t / (t + p)) * S.

Таким образом, вероятность того, что точка X принадлежит треугольнику ABM, равна:

P(X принадлежит ABM) = площадь ABM / площадь ABC = (t / (t + p)) * S / S = t / (t + p).

Ответ:
б) Вероятность P(X принадлежит ABM) = t / (t + p).