Часть 1: Вероятность того, что случайно выбранная точка в круге принадлежит вписанному в круг равностороннему треугольнику.
Дано:
- Радиус круга R.
- Случайно выбирается точка внутри круга.
Найти:
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному в круг равностороннему треугольнику.
Решение:
1. Найдем площадь круга Sкруг.
Sкруг = π * R^2.
2. Найдем радиус r вписанного равностороннего треугольника. Радиус вписанного равностороннего треугольника равен:
r = R * (sqrt(3) / 3).
3. Найдем площадь вписанного равностороннего треугольника. Площадь Sтреугольник равностороннего треугольника со стороной a равна:
Sтреугольник = (sqrt(3) / 4) * a^2.
Сторона a равностороннего треугольника со вписанным радиусом r будет равна:
a = r * (2 / sqrt(3)) = R * (2 / 3).
Следовательно,
Sтреугольник = (sqrt(3) / 4) * (R * (2 / 3))^2 = (sqrt(3) / 4) * (4R^2 / 9) = (sqrt(3) / 9) * R^2.
4. Теперь найдем вероятность P того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному треугольнику:
P = Sтреугольник / Sкруг.
Подставляем найденные площади:
P = ((sqrt(3) / 9) * R^2) / (π * R^2) = (sqrt(3) / 9) / π = sqrt(3) / (9π).
Ответ:
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному в круг равностороннему треугольнику равна sqrt(3) / (9π).
---
Часть 2: Вероятность события на числовом отрезке [2; 7].
Дано:
- Числовой отрезок [2; 7].
- Случайно выбирается отрезок [a; b] длиной 1, где a < b.
Найти:
а) Вероятность события: а < 4.
б) Вероятность события: b < 4.
Решение:
1. Длина отрезка [2; 7] равна 7 - 2 = 5.
2. Условия для a и b:
- Отрезок [a; b] может быть задан как [a; a + 1], где a принимает значения из интервала [2; 6] (поскольку b = a + 1 не должно превышать 7).
3. Для события а < 4:
- Необходимо, чтобы a находилось в пределах [2; 4).
- Длина отрезка, соответствующего этому условию, равна 4 - 2 = 2.
Вероятность P(a < 4) = (длина подходящего отрезка) / (длина всего отрезка) = 2 / 5.
4. Для события b < 4:
- Необходимо, чтобы b находилось в пределах [2; 4), то есть a + 1 < 4, следовательно, a < 3.
- Значения a должны находиться в пределах [2; 3), длина этого отрезка равна 3 - 2 = 1.
Вероятность P(b < 4) = (длина подходящего отрезка) / (длина всего отрезка) = 1 / 5.
Ответ:
а) Вероятность P(a < 4) = 2 / 5.
б) Вероятность P(b < 4) = 1 / 5.