Дано:
- Окружность радиусом R.
- Хорда, перпендикулярная к диаметру, проходит через случайную точку на диаметре.
Найти:
Вероятность того, что длина полученной хорды больше длины стороны равностороннего треугольника, вписанного в данную окружность.
Решение:
1. Длина стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна:
a = R * корень из 3.
2. Поскольку хорда перпендикулярна диаметру и проходит через точку, расположенную на диаметре, длина этой хорды зависит от расстояния d от центра окружности до выбранной точки на диаметре. Это расстояние может изменяться от 0 до R.
3. Длина хорды L можно выразить через расстояние d следующим образом:
L = 2 * корень из (R^2 - d^2).
4. Теперь необходимо найти условия, при которых длина хорды больше стороны равностороннего треугольника:
2 * корень из (R^2 - d^2) > R * корень из 3.
5. Делим обе стороны неравенства на 2:
корень из (R^2 - d^2) > (R / 2) * корень из 3.
6. Квадратируем обе стороны:
R^2 - d^2 > (R^2 / 4) * 3,
R^2 - d^2 > (3R^2 / 4).
7. Переписываем неравенство:
R^2 - (3R^2 / 4) > d^2,
(R^2 / 4) > d^2.
8. Из этого следует, что:
d < R / 2.
9. Таким образом, d может принимать значения от 0 до R/2. Длина отрезка на диаметре, соответствующая этому интервалу, составляет R/2.
10. Поскольку d может меняться от 0 до R, общий диапазон составляет R. Следовательно, вероятность P, что полученная хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, равна:
P = (R / 2) / R = 1 / 2.
Ответ:
Вероятность того, что полученная хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, равна 1/2.