а) Дано:
- Квадратное уравнение: x^2 + b*x + c^2 = 0
- b выбирается из интервала [-10, 10].
- c выбирается из интервала [-10, 10].
Найти:
Вероятность того, что квадратное уравнение имеет корни.
Решение:
1. Для нахождения корней квадратного уравнения необходимо, чтобы дискриминант D был неотрицательным:
D = b^2 - 4*a*c >= 0
Для нашего уравнения a = 1 и c = c^2, поэтому дискриминант будет равен:
D = b^2 - 4*c^2
2. Условие для наличия корней:
b^2 - 4*c^2 >= 0
Это можно переписать как:
b^2 >= 4*c^2
3. Теперь найдем область, соответствующую этому условию. Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
|b| >= 2*|c|
4. Поскольку b и c выбираются случайно из интервалов, нарисуем плоскость с осями b и c, где ось b от -10 до 10, а ось c от -10 до 10.
5. Условие |b| >= 2*|c| создает две линии:
b = 2*c и b = -2*c. Эти линии разделяют плоскость на три области:
- Область, где b < -2*c и b > 2*c (имеет корни).
- Область, где -2*c < b < 2*c (не имеет корней).
6. Найдем площадь каждой области. Общая площадь квадрата, описанного вокруг выбранных значений b и c, равна 400 (20 * 20, так как 20 — это длина стороны квадрата).
7. Площадь области, где b < -2*c и b > 2*c, представляет собой два треугольника:
- Треугольник с вершинами (10, -5), (10, 5), (-10, 5)
- Треугольник с вершинами (10, 5), (10, -5), (-10, -5)
8. Каждый из этих треугольников имеет высоту 10 и основание 20.
Площадь одного треугольника:
S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 20 * 10 = 100.
9. Площадь двух треугольников: 2 * 100 = 200.
10. Вероятность P того, что уравнение имеет корни:
P = (площадь областей с корнями) / (общая площадь квадрата) = 200 / 400 = 0.5.
Ответ:
Вероятность того, что квадратное уравнение имеет корни, равна 0.5 или 50%.