Дано:
- Вероятность выпадения орла при одном броске монеты: p = 0,5
- Вероятность выпадения решки (не орла): q = 1 - p = 0,5
Найти: математическое ожидание числа бросков до первого получения орла.
Решение:
Пусть X — случайная величина, обозначающая количество бросков до получения первого орла.
События, связанные с X:
- Если на первом броске выпадает орел (с вероятностью p), то количество бросков равно 1.
- Если на первом броске выпадает решка (с вероятностью q), то мы продолжаем бросать и ожидаем дополнительное количество бросков, равное X + 1.
Таким образом, можно записать следующее уравнение для математического ожидания E(X):
E(X) = p * 1 + q * (E(X) + 1)
Подставим значения p и q:
E(X) = 0,5 * 1 + 0,5 * (E(X) + 1)
Раскроем скобки:
E(X) = 0,5 + 0,5 * E(X) + 0,5
Объединим подобные термины:
E(X) = 1 + 0,5 * E(X)
Теперь выразим E(X):
E(X) - 0,5 * E(X) = 1
0,5 * E(X) = 1
E(X) = 1 / 0,5
E(X) = 2
Ответ:
Математическое ожидание числа бросков до первого получения орла составляет 2.