Дано:
- Вероятность выпадения 5 или 6 очков при одном броске игральной кости: p = 2/6 = 1/3
- Вероятность неполучения 5 или 6 очков (выпадение 1, 2, 3 или 4): q = 1 - p = 2/3
Найти: математическое ожидание числа бросков до первого получения 5 или 6 очков.
Решение:
Обозначим E как математическое ожидание количества бросков до первого получения 5 или 6 очков.
Можно записать следующее уравнение для E:
E = p * 1 + q * (E + 1)
Где:
- p * 1 — вероятность того, что на первом броске выпадет 5 или 6 (в этом случае мы сделали всего 1 бросок).
- q * (E + 1) — вероятность того, что на первом броске не выпало 5 или 6 (тогда ожидаемое количество бросков увеличивается на 1, и процесс продолжается).
Подставим значения p и q:
E = (1/3) * 1 + (2/3) * (E + 1)
Раскроем скобки:
E = 1/3 + (2/3) * E + (2/3)
Объединим подобные термины:
E = 1/3 + 2/3 + (2/3) * E
E = 1 + (2/3) * E
Теперь решим это уравнение для E:
E - (2/3) * E = 1
(1/3) * E = 1
E = 1 / (1/3)
E = 3
Ответ:
Математическое ожидание числа бросков до получения хотя бы одного 5 или 6 очков составляет 3.