Дано:
- Вероятность выпадения 6 очков при одном броске игральной кости: p = 1/6
- Вероятность неполучения 6 очков (выпадение 1, 2, 3, 4 или 5): q = 1 - p = 5/6
Найти: математическое ожидание числа бросков до первого получения 6 очков.
Решение:
Пусть X — случайная величина, обозначающая количество бросков до получения первого 6 очков.
События, связанные с X:
- Если на первом броске выпадает 6 (с вероятностью p), то количество бросков равно 1.
- Если на первом броске не выпадает 6 (с вероятностью q), то мы продолжаем бросать, и ожидаем дополнительное количество бросков, равное X + 1.
Таким образом, можно записать следующее уравнение для математического ожидания E(X):
E(X) = p * 1 + q * (E(X) + 1)
Подставим значения p и q:
E(X) = (1/6) * 1 + (5/6) * (E(X) + 1)
Раскроем скобки:
E(X) = 1/6 + (5/6) * E(X) + 5/6
Объединим подобные термины:
E(X) = 1/6 + 5/6 + (5/6) * E(X)
E(X) = 1 + (5/6) * E(X)
Теперь выразим E(X):
E(X) - (5/6) * E(X) = 1
(1/6) * E(X) = 1
E(X) = 1 / (1/6)
E(X) = 6
Ответ:
Математическое ожидание числа бросков до первого получения 6 очков составляет 6.