Дано:
Дисперсия случайной величины X: DX = 5.
Дисперсия случайной величины Y: DY = 7.
Случайные величины X и Y независимы.
Найти: дисперсию новых случайных величин.
Решение:
Для независимых случайных величин применяются следующие свойства дисперсии:
1. Дисперсия разности двух независимых случайных величин: D(X - Y) = DX + DY.
2. Дисперсия суммы или линейной комбинации двух независимых случайных величин: D(aX + bY) = a^2 * DX + b^2 * DY, где a и b — константы.
а) Найдем дисперсию для величины Z = X - Y.
D(Z) = D(X - Y) = DX + DY
Теперь подставим значения:
D(Z) = 5 + 7 = 12.
Ответ для случая а):
Дисперсия случайной величины X - Y составляет 12.
б) Найдем дисперсию для величины W = 2X + 3Y.
D(W) = D(2X + 3Y) = (2^2) * DX + (3^2) * DY
Теперь подставим значения:
D(W) = 4 * 5 + 9 * 7 = 20 + 63 = 83.
Ответ для случая б):
Дисперсия случайной величины 2X + 3Y составляет 83.