Дано:
Игральная кость, которая имеет 6 граней с числами от 1 до 6.
Кость бросается дважды.
Найти: математическое ожидание случайной величины:
а) «наибольшее из выпавших очков»;
б) «наименьшее из выпавших очков».
Решение:
Поскольку игральная кость бросается дважды, все возможные пары результатов можно представить в виде (x, y), где x и y – это числа, выпавшие на первой и второй грани соответственно. Всего существует 6 * 6 = 36 возможных исходов.
а) Найдем математическое ожидание случайной величины «наибольшее из выпавших очков».
Для нахождения математического ожидания сначала определим вероятности каждого возможного значения наибольшего очка.
Возможные значения для наибольшего очка: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
1. Наибольшее = 1: (1, 1) -> 1 комбинация.
P(1) = 1/36.
2. Наибольшее = 2: (1, 2), (2, 1), (2, 2) -> 3 комбинации.
P(2) = 3/36 = 1/12.
3. Наибольшее = 3: (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) -> 5 комбинаций.
P(3) = 5/36.
4. Наибольшее = 4: (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) -> 7 комбинаций.
P(4) = 7/36.
5. Наибольшее = 5: (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5) -> 9 комбинаций.
P(5) = 9/36 = 1/4.
6. Наибольшее = 6: (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) -> 11 комбинаций.
P(6) = 11/36.
Теперь вычислим математическое ожидание E(X):
E(X) = 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + 4 * P(4) + 5 * P(5) + 6 * P(6)
= 1 * (1/36) + 2 * (1/12) + 3 * (5/36) + 4 * (7/36) + 5 * (1/4) + 6 * (11/36)
= 1/36 + 2/12 + 15/36 + 28/36 + 45/36 + 66/36
= 1/36 + 6/36 + 15/36 + 28/36 + 45/36 + 66/36
= (1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66)/36
= 161/36 ≈ 4,472.
Ответ: 4,472.