дано:
Пусть n - количество детей, каждый из которых принёс ёлочную игрушку. Игрушки раздаются случайным образом.
найти:
1. Математическое ожидание случайной величины "число детей, кто получил в качестве приза свою же игрушку".
2. Дисперсию этой случайной величины.
решение:
Обозначим случайную величину X как число детей, которые получили в качестве приза свои собственные игрушки.
Для каждого ребёнка i (i от 1 до n) определим индикаторную случайную величину Xi, равную 1, если ребёнок i получил свою игрушку, и 0 в противном случае.
Следовательно, X = X1 + X2 + ... + Xn.
Теперь найдём математическое ожидание E(X):
E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).
Вероятность того, что конкретный ребёнок i получит свою игрушку, равна 1/n, так как игрушки раздаются случайным образом.
Таким образом,
E(Xi) = 1 * (1/n) + 0 * ((n-1)/n) = 1/n.
Подставляя в формулу для E(X):
E(X) = n * (1/n) = 1.
Теперь найдём дисперсию Var(X).
Дисперсия D(X) может быть найдена через индикаторные случайные величины:
D(X) = D(X1 + X2 + ... + Xn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn) + 2 * Sum(i!=j) Cov(Xi, Xj).
Сначала найдем D(Xi):
D(Xi) = E(Xi^2) - (E(Xi))^2.
Так как Xi принимает значения 0 и 1, то E(Xi^2) = E(Xi) = 1/n.
Следовательно,
D(Xi) = (1/n) - (1/n)^2 = (1/n) - (1/n^2) = (n-1)/n^2.
Теперь найдём ковариацию Cov(Xi, Xj) для i ≠ j:
Cov(Xi, Xj) = E(Xi * Xj) - E(Xi) * E(Xj).
E(Xi * Xj) - вероятность того, что оба ребёнка i и j получили свои игрушки. Это возможно только в случае, если их игрушки были на своих местах, что происходит с вероятностью 1/n(n-1). Следовательно,
E(Xi * Xj) = 1 * (1/n(n-1)) + 0 * ((n(n-1)-1)/n(n-1)) = 1/n(n-1).
Теперь подставим это значение:
Cov(Xi, Xj) = (1/n(n-1)) - (1/n) * (1/n) = (1/n(n-1)) - (1/n^2) = (n-2)/n^2(n-1).
Теперь можем найти дисперсию:
D(X) = n * (n-1)/n^2 + 2 * C * n(n-1).
Здесь C = (n-2) / (n^2(n-1)). Подставим:
D(X) = n * (n-1)/n^2 + 2 * n(n-1)*(n-2)/(n^2(n-1))
= (n-1)/n + 2*(n-2)/n
= (n-1 + 2(n-2))/n
= (n-1 + 2n - 4)/n
= (3n - 5)/n.
Ответ:
1. Математическое ожидание числа детей, кто получил свою игрушку, равно 1.
2. Дисперсия этой случайной величины равна (3n - 5)/n.