Question

На празднование Нового Года собралось 10 гостей. Каждый принёс подарок (гостинец). Все гостинцы разыгрывались между всеми гостями. Каждый гость получил какой-то случайный гостинец.
а)  Напишите распределение индикатора события «k-му гостю достался его же собственный гостинец».
б) Используя результат п. а), выразите через индикаторы случайную величину «Количество гостей, которые получили свой же гостинец».

Answer 1

Дано:  
Количество гостей n = 10. Каждый гость приносит подарок. Подарки разыгрываются случайным образом.

Найти:  
а) Распределение индикатора события «k-му гостю достался его же собственный гостинец».  
б) Случайная величина «Количество гостей, которые получили свой же гостинец», выразив её через индикаторы.

Решение:

а) Обозначим индикатор события «k-му гостю достался его же собственный гостинец» как I_k.

I_k = 1, если k-му гостю достался его собственный подарок,  
I_k = 0, если не достался.

Вероятность того, что k-му гостю достался его же подарок:

P(I_k = 1) = 1/n = 1/10,  
P(I_k = 0) = 1 - P(I_k = 1) = 9/10.

Таким образом, распределение I_k:

P(I_k = 1) = 1/10,  
P(I_k = 0) = 9/10.

б) Обозначим случайную величину X как «Количество гостей, которые получили свой же гостинец».

X может быть выражена через индикаторы I_k для всех гостей:

X = I_1 + I_2 + ... + I_10.

Так как I_k принимает значения 0 или 1, то X будет равно количеству гостей, у которых I_k = 1.

Таким образом, X = I_1 + I_2 + ... + I_10, где k = 1, 2, ..., 10.

Ответ:  
а) Для каждого I_k: P(I_k = 1) = 1/10, P(I_k = 0) = 9/10.  
б) X = I_1 + I_2 + ... + I_10, где I_k - индикаторы, k = 1, 2, ..., 10.