дано:
Количество школьников p
найти:
Математическое ожидание случайной величины X, равной числу школьников, перед кем в колонне нет никого выше, чем он.
решение:
Обозначим i-й школьник как S_i, где i = 1, 2, ..., p. Определим индикаторную случайную величину I_i, которая равна 1, если перед школьником S_i нет никого выше него, и 0 в противном случае. Таким образом, общая случайная величина X может быть записана как:
X = I_1 + I_2 + ... + I_p
Теперь найдем математическое ожидание E(X):
E(X) = E(I_1) + E(I_2) + ... + E(I_p)
Для каждого школьника вероятность того, что перед ним нет никого выше, равна 1/(i), где i - это позиция школьника. Когда мы рассматриваем всех p школьников, вероятность E(I_i) для каждого школьника S_i равна:
E(I_i) = 1 / i
Тогда математическое ожидание можно выразить как сумму:
E(X) = E(I_1) + E(I_2) + ... + E(I_p) = 1/1 + 1/2 + ... + 1/p
Эта сумма представляет собой свертку первых p членов гармонического ряда, и математическое ожидание при больших p приближается к ln(p) + γ, где γ - постоянная Эйлера (примерно 0.577).
Однако, для точного значения E(X) для конечного p оно выражается следующим образом:
E(X) = H_p,
где H_p - гармоническое число, равное:
H_p = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/p.
ответ:
Математическое ожидание числа школьников, перед кем в колонне нет никого выше, чем он, равно H_p.