дано:
Количество мест n = 25
а) найти:
Математическое ожидание количества раз, когда зрителю M придётся встать, чтобы пропустить других.
решение:
Обозначим случайную величину W_M как количество раз, когда зритель M должен встать. Зритель M должен встать каждый раз, когда кто-то приходит на место, расположенное дальше по ряду, чем его собственное. Для каждого из других зрителей, приходящих после M, вероятность того, что их место находится дальше по ряду, равна (n - m)/(n - 1), где m - номер места зрителя M.
Таким образом, для каждого зрителя i, который пришёл после M, есть вероятность 1/2, что он займет место за зрителем M. Если мы обозначим I_i как индикаторную переменную, равную 1, если зритель M должен встать перед i-м зрителем, и 0 в противном случае, то можно записать:
W_M = I_{M+1} + I_{M+2} + ... + I_{25}
Теперь найдем математическое ожидание E(W_M):
E(W_M) = E(I_{M+1}) + E(I_{M+2}) + ... + E(I_{25})
Каждая E(I_i) равна 1/(n - m + 1). Следовательно,
E(W_M) = (n - m) / 2
Поскольку M выбирается случайно, можно усреднить это значение:
E(W_M) = (1 + 2 + ... + 25) / 25 = 12
ответ:
Математическое ожидание количества раз, когда зрителю M придётся встать, равно 12.
б) найти:
Математическое ожидание числа зрителей, которым ни разу не придётся встать.
решение:
Обозначим случайную величину Z как число зрителей, которым ни разу не придётся встать. Это будут зрители, которые занимают места, на которые никто другой не приходит позже.
Каждый зритель имеет вероятность 1/n занять место так, чтобы никто не встал. Таким образом, если обозначить J_i как индикаторную переменную, равную 1, если зритель i сидит без необходимости вставать, и 0 в противном случае, тогда:
Z = J_1 + J_2 + ... + J_n
Тогда математическое ожидание E(Z) будет равно:
E(Z) = E(J_1) + E(J_2) + ... + E(J_n)
Поскольку вероятность того, что зритель i не должен вставать, составляет 1/i для каждого i, то:
E(J_i) = 1/25
Таким образом:
E(Z) = 25 * (1/25) = 1
ответ:
Математическое ожидание числа зрителей этого ряда, которым ни разу не придётся встать, равно 1.